功、能量與功率

● A：平拋只受重力做功 → 機械能守恆

● B 不守恆：勻速 → 動能不變; 上升 → 勢能增加 → 機械能增加(吊繩拉力做正功)

● C：光滑面上只有重力做功(支持力與位移垂直) → 守恆

● D：細線拉力與位移垂直, 不做功 → 只有重力做功 → 守恆

判據：除重力/彈力外, 是否還有 其他外力做功。

● A 錯：動力做正功, 但若阻力做更多負功, 動能反而減少

● B 錯：克服阻力做功 → 阻力做負功, 但若動力做正功更多, 動能反而增加

● C 對：這正是 動能定理 W_合 = ΔE_k

● D 錯：若動力做的正功 = 阻力做的負功, 則 W_合 = 0, 動能不變

關鍵：看動能變化只看 合力做的功, 而非單一力做的功。

原本平衡 → 兩力大小相等方向相反, 各為 F

變化後合力 = 4F − F = 3F(方向沿 4F)

4F 的方向 = 速度方向(同向):

陷阱：易忘了原來的「另一個力」仍存在 → 別把合力當成 4F。

設拋出時水平速度為 v₀。從靜止到 v₀ 為人做功:

拋出後不計阻力, 機械能守恆:

∴ W_人 = ½mv₀² = ½mv² − mgh → B 對

落地時 h = 0, 機械能 = E_k + 0 = ½mv² → C 對

區分：「人做的功」≠「拋出後的機械能」, 中間隔了 mgh。

不計阻力 → 機械能守恆。三球初動能相同(½mv₀²)、初高度相同(陽臺)、終高度相同(地面)。

∴ 三球落地速率 v 全部相同 = √(v₀² + 2gh)

注意：速率(標量)相同, 但 速度方向不同; 落地時間也不同。

下落 1 s 後速度: v = gt = 10 m/s

下落距離: h = ½gt² = ½ × 10 × 1² = 5 m

動能增加(+25 J) = 勢能減少(25 J) → 機械能 守恆

本質：自由落體中只有重力做功 → 機械能必然守恆。

對全程用動能定理: W_重 + W_阻 = ½mv² − ½mv₀²

重力做功:

動能變化:

解出阻力做的功:

∴ 克服阻力做的功 = |W_阻| = 22 J

術語：「克服阻力做功」取正值; 「阻力做功」本身為負。

(1) 達最大速率時加速度 = 0, 即牽引力 = 阻力 = 1000 N。此時用全部額定功率:

(2) 5 m/s 勻速 → 牽引力 = 阻力 = 1000 N (尚未達額定):

區分：「額定功率」是上限, 實際功率隨速度而變; 只有最大速率時才會達到額定。

下滑高度差: h = L sin α = 1.5 × 0.6 = 0.9 m

(1) 重力做功(沿位移方向有分量, 做正功):

(2) 摩擦力: 法向力 N = mg cos α, 摩擦力 f = μN

(3) 支持力方向 ⊥ 位移:

(4) 外力總功:

驗證：由動能定理 W_合 = ΔE_k, 660 J 即是貨物由靜止滑到底時的動能。

加速度 a = Δv/t = 4/2 = 2 m/s², 合力 F = ma = 5×2 = 10 N。

(1) 法一: 全過程做功 W = ½mv² = ½×5×4² = 40 J

法二: P_平均 = F·v_平均 = 10 × (0+4)/2 = 20 W ✓

(2) 2 s 末速度 v = 4 m/s:

規律：勻加速由靜止啟動, P_瞬末 = 2 × P_平均(因平均速度恰為末速度一半)。